Gaussian Filter と　ダウンサンプリング

matlab

matlabでガウスカーネルを作成．

g_kernel = fspecial('gaussian',hsize,sigma);

第1引数がカーネルの種類で，それ以降の引数は種類による．今回はガウシアンカーネルなので第2引数でカーネルサイズ（行列の大きさ），第3引数でガウス分布の標準偏差を指定する．作成したカーネルと元画像の畳込みをすれば平滑化された画像が得られるが，2次元画像の畳込みには２重ループが必要．matlabの多重ループは遅いので，あらかじめ用意された関数を使用する．

img_g = imfilter(image,g_kernel,'replicate');

imfilter関数を使ってフィルタリングする．第3引数は境界条件を指定するオプション．平滑化を行った後に，画素を間引いてダウンサンプリングを行う．
カーネルの大きさとσの関係だが，σが大きくなるほどカーネルのサイズを大きくする必要があり，計算量も増えていく．3x3，5x5,7x7などが使われるらしく,OpneCVのダウンサンプリングを行う関数のカーネルは5x5らしい．
SIFTではσの値が大きい場合の畳込みの計算量を減らすため(カーネルの大きさを抑えるため)，まず元画像を2σで平滑化した画像L1(2σ)を1/2にダウンサンプリングしてL2(σ)を得る．次に同じサイズのカーネルでσ〜2σまでの畳み込みをL2(σ)に行う．この，ブラー→ダウンサンプリング→ブラー，を繰り返すことでカーネルのサイズ増加を防げている．これは
\reverse\opaque L1 \left( 2 \sigma \right) \approx L 2 \left( \sigma \right)
という関係を利用している．繰り返していけば
\reverse\opaque L1 \left( 4 \sigma \right) \approx L2 \left( 2 \sigma \right) \approx L3 \left( \sigma \right)
\reverse\opaque L1 \left( 8 \sigma \right) \approx L2 \left( 4 \sigma \right) \approx L3 \left( 2 \sigma \right) \approx L4 \left( \sigma \right)
･･･
となる．

なお，画素を間引いてダウンサンプリングするには次のコマンドで一発．

img_dwn = imresize(source_img, scale);

第2引数のscaleがダウンサンプリング後との比になっている．1/2なら画像の縦横がそれぞれ1/2になる．